Progamación Lineal o Investigación de Operaciones I

Epígrafe: “Hay prueba que la Investigación de operaciones son modelos de optimización lineal de mayor aplicación comercial”

Objetivo: Aprender a utilizar el Método gráfico y algebraico teniendo en cuenta la técnica para elaborarlo mediante la perspectiva de grupo

Introducción

Programación lineal es una técnica matemática  que permite asignar recursos limitados. La programación lineal es una técnica matemática empleada durante la segunda guerra mundial. Su valía para la administración de la producción radica en que a menudo se puede operar para resolver problemas de asignación complicados que incluye una gran cantidad de variables.  Antes del desarrollo de la programación lineal solo se conseguía solucionar mediante modelos gráficos y esquemáticos. Las soluciones se hallaban por medio de aproximaciones sucesivas y ninguno estaba seguro de haber logrado la mejor solución. El problema de programación  al que se enfrenta es: “¿Cómo consigo el mayor importe  por los productos y servicios que obtengo con el dinero que poseo?” Si todas las relaciones son lineales  (ejemplo: 2 unidades son 2 veces más buenas o cuestan el doble que una) puede aplicar la técnica de programación lineal para solucionar el problema.

La programación lineal es un método de optimización matemática que se aprovecha ampliamente en áreas como la determinación de rutas de vuelo, mezclas de ingredientes y planificación de distribución. En este curso se analizarán los Métodos de programación lineal siguiente:

1. Gráficos
2. Simplex (precio sombra, definición de intervalos y análisis de sensibilidad)
3. Transporte de asignación
4. Ruta Crítica y PERT
5. Programación de costo Mínimo de un proyecto.

Las condiciones principales para que pueda aplicarse la programación lineal a un problema son:

1. Los recursos deben ser limitados
2. Debe existir un objetivo explicito como minimizar costos o maximizar utilidades.
3. Las relaciones deben ser lineales.
4. Debe haber semejanza (Los productos que se obtienen en una máquina son idénticos, o son igual de productivas las horas disponibles de un trabajador.)
5. La programación lineal normal presume que es permitido fraccionar los productos y los recursos. Si no es posible establecer esta subdivisión (por ejemplo contratar 3 ¾ de personas, o hacer volar ½ avión) se puede hacer uso de la variante,  denominada Programación Entera. Se aprovechar la programación lineal cuando se trata de diversos objetivos, utilizando  la programación de metas. Si la mejor solución se consigue en fases o periodos se puede emplear la programación dinámica.  A veces las restricciones de la ambiente del problema  puede hacer que se resuelva  con otras variantes de la técnica, como la programación no lineal o la programación cuadrática.

I.              Programación Lineal Gráfica

La programación lineal gráfica se restringe a problemas de con 2 o 3 variables de decisión (gráficos de 2 o 3 dimensiones) es una forma rápida de estar al tanto de la naturaleza de la programación lineal e instruye lo que acontece en el método simplex general, descrito más adelante. Los pasos que comprende el método gráfico se ilustrara con el ejemplo siguiente: La compañía de juguetes Barby diseño 2 tipos de juguetes: 1 moto que cuesta $2 y un auto que cuesta $4. La moto requiere 4 horas de procesamiento en el centro de mecanizado A y 2 horas de procesamiento en centro de mecanizado B. Un automóvil requiere 6 horas en el centro A y una hora en el centro de mecanizado C. El centro de capacidad A tiene una capacidad máxima de 120 horas, el centro B de 75 horas y el centro C 15 horas. Si la compañía desea maximizar el beneficio: ¿Qué cantidad de autos y moto elaborarán? Y ¿Cuál sería el beneficio máximo?

• M: Numero de motosA: Numero de automóviles.La función objetivo toma como coeficiente el costo:Maximizar: F (M, A) = 2M + 4A

• 1. La maximización estará sujeta a las siguientes restricciones:
  a)    Centro de mecanizado A: 4 M + 6A ≤ 120
  b)    Centro de mecanizado B: 2 M+6A≤ 75
  c)    Centro de mecanizado C:           1A≤ 15
  d)    Restricción para el cuadrante 1: M ≥ 0 y A ≥ 0
  2. Representar gráficamente las restricciones:
  Para realizar el gráfico se buscan los intercepto en el eje X y eje Y, para cada in ecuación tomándose como ecuación y se tabula:

  

  Cuadro No. 2. Tabulación

  
  

  

  Grafico 1: Centro de trabajo A, B, C

  El gráfico de las ecuaciones sería:  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  3. —Determinar la región posible

  Todas son proporciones verdaderas la dirección de cada inecacuación serían hacia el eje (0,0) en caso de que alguna fuera falsa iría al lado contrario

  Para determinar la región posible se puede escoger el origen como referencia por lo que se le dan los valores X=0 y Y=0 a cada ecuación por lo que proporcionaría:
  a)    Para el Centro A: 0 ≤ 120
  b)    Para el centro B:  0 ≤ 75
  c)    Para el centro C: 0 ≤ 15
  Se buscan los puntos principales del área factible buscando los intercepto de la ecuación del centro mecanizado A con el centro mecanizado B:
  Método de reducción en un sistema de ecuaciones
  4 M + 6A = 120
  (2 M + 6A =  75) multiplicar toda la expresión por (-1) y luego se suma, teniendo:
  4 M + 6A = 120
  -2M – 6 A =-75
  ↓
  2 M = 45      →    M = 45/2
  Sustituir M en la ecuación 1: 4(45/2) + 6 A = 120 donde A = 5; el intercepto de las dos ecuaciones es el punto 3 (22.5, 5)
  Representar gráficamente la función restricciones
  Preguntas de Repaso:
  1. ¿Cuáles son los requisitos estructurales de un problema para que pueda resolverse con programación  lineal?
  2. ¿Cuál es la utilidad del método grafico?
  3. ¿Cuál es la diferencia entre función objetivo y restricción?
  4. ¿Cuál es el rasgo distintivo de una programación lineal?
  5. ¿Cuál es la importancia de la formulación de modelos?
  6. ¿Por qué en la programación lineal se incluyen requerimientos de no negatividad?
  7. Se ha dicho que no hay decisiones óptimas para los problemas complejos del mundo de los negocios. Sin embargo los modelos de optimización producen soluciones óptimas. ¿En qué sentido son optimas las soluciones?
  8. 1. Considere el siguiente PL: maximizar                                             
  2. 1. F(X₁, X₂)= X₁ + X₂                                                                                                                
        1. 1.  S.a:   
  X1 + 2 X2 ≤ 63 
           X1 + 2 X2≤ 1
          X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
  • Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo.
  • Cambien la función objetivo a F(X₁, X₂)= 2X₁ + 6X₂ y encuentre la solución óptima
  • ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible? Encuentre los valores de (X₁ , X₂ )
  9. Haga la gráfica del conjunto de puntos que satisfacen la ecuación
  • -2X1 – 6 X2 > -12; la gráfica está arriba o debajo de la recta -2X₁ – 6 X₂ = -12?
  10. ¿Cuál de las siguientes relaciones matemáticas se puede encontrar en un modelo de programación lineal? Indique la razón de las relaciones que no se puedan aceptar en una PL
  Analice y resuelva:
  1. Una empresa vende 2 productos. La compañía obtiene una utilidad de $ 12 /unidad del producto 1 y $4/unidad del producto 2 en la venta. Las horas de trabajo que se requieren para los productos en cada uno de los tres departamentos de producción se sintetizan a continuación:                             Los supervisores de estos departamentos han estimado que durante el próximo mes estarán disponible las siguientes horas de trabajo: 800 en el departamento 1, 600 en el departamento 2 y 2000 en el departamento 3.  Formule el modelo  de programación lineal y maximice las utilidades.
  2. Una fábrica produce bombillas de bajo consumo que vende a C$ 15  la unidad y focos halógenos que vende C$ 25 la unidad. La capacidad máxima de fabricación es de 1000 unidades, además no se puede fabricar más de 800 bombillas ni más de 600 focos, se sabe que la fábrica vende todo lo que produce. Determine cuantas bombillas y cuántos focos  debe producir para maximizar sus ingresos.
  3. Una compañía de contadores  prepararan  liquidaciones y auditorias de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorias y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoria en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 400 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 150 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.