A una persona le tocan 10 millones de córdobas en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 15 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 10% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?
Sean las variables de decisión:
x= cantidad invertida en acciones A
y= cantidad invertida en acciones B
La función objetivo es:
F(X, Y) = (15/100) X + (10/100) Y
Y las restricciones son:
 |
| Restricciones |
 |
| Planteamiento del problema en el Winqsb |
 |
| Gráfico de la solución factible |
La solución se
presenta en la tabla siguiente:
 |
| Solución del problema |
Conclusión:
Hay que invertir 2 millones en las acción A y B para obtener
un beneficio de C$ 50000 córdobas en total.
Ahora a resolver:
Analice y Resuelva:
1. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante
pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la
confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada
pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se
necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se
fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y
chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos
consigan una venta máxima?
2. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y
L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el
modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y
de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y
para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15
y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para
obtener el máximo beneficio.
3. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones,
los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no
refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de
refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de
producto que necesita refrigeración y 4 000 m3de otro que no la necesita. El
coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos
camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?
4. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar,
con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una
sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo
X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una
composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10
euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo
para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
5. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de
material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y
400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el
primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo,
pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán
6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le convienen poner de cada tipo
para obtener el máximo beneficio?
6. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100
pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La
oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €;
la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a
50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la
B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
7. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La
empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero
sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y
el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que
utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.
8. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos
tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que
rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y
como mínimo 60.000 en las del
tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el
doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión
para obtener el máximo interés anual?
9. En una pastelería se hacen
dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de
relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras
que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y
produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente
hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de
maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas
Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?
- Se
va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar
electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que
haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el
número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total
hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la
empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por
mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener
el máximo beneficio y cual es este?
- Se
dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola
sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los
paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin
cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína.
El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros
por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos
paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular
éste.
- Se
dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes
y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al
menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las
grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña
de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el
beneficio sea máximo?
- Se
pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede
cultivar más de 8 ha con olivos de tipo A, ni más de 10 ha con olivos del
tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y
cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada
hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B,
225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada
hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300
litros anuales de aceite: Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo
de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite. Obtener
la producción máxima.
- Una empresa fabrica dos
modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20
euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de
trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se
requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de
48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9
fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para
obtener el máximo beneficio y cual sería este?
- El granjero López tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima?
- Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?
- El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3.En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Pro lineal son aptas a tal planteo, le pide que, aplicando la herramienta WINQSB, dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes.
- Una compañía produce
tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10,
$12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de
tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado.
Cada metro del tubo B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la
producción, cadametro de tubo, sin importar
el tipo, requiere 1 kg de material de soldar.
El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente
semana, la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus
clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como sólo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de máquina
esta semana y sólo se tienen en inventario 5,500 Kg de material de soldar el departamento de
producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000 kg de material para soldar y más tiempo de
producción. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez
de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia
está considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de
Japón a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted ccomo gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones
respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de
compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la
Compañía.
Tabla 1: Datos referentes al problema:
Tubo tipo
|
Precio de Venta ($/metro)
|
Demanda
(metros)
|
Tiempo de Máquina(min/metro)
|
Material para soldar
(kg/metro)
|
Costo de Producción
($/metro)
|
Costo de compra a Japón ($/metro)
|
A
|
10
|
2,000
|
0.50
|
1
|
3
|
6
|
B
|
12
|
4,000
|
0.45
|
1
|
4
|
6
|
C
|
9
|
5,000
|
0.60
|
1
|
4
|
7
|
Formule el modelo de PL
Desarrollar el modelo Matemático y resuélvalo
por medio del programa WINQSB
- Una
Empresa metalmecánica, puede fabricar
cuatro productos diferentes (A, B, C, D) en cualquier combinación. La
producción da cada producto requiere emplear
las cuatro máquinas. El tiempo que cada
producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en
la tabla anexa Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los
productos A, B, C y D se pueden vender a $8, $6, $5 y $4 por kilogramo, respectivamente. Los
costos variables de trabajo son de $3 por hora para las máquinas 1 y 2 y
de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material para
cada kilogramo de producto A es de $3. El costo de material es de $1 para
cada kilogramode los productos B, C y D. ,
la máxima utilidad que puede obtener la empresa. Tiempo de máquina (Minutos por kilogramo de producto)
Producto
|
Máquina
|
Demanda
|
|||
1
|
2
|
3
|
4
|
Máxima
|
|
A
|
10
|
5
|
3
|
6
|
100
|
B
|
6
|
3
|
8
|
4
|
400
|
C
|
5
|
4
|
3
|
3
|
500
|
D
|
2
|
4
|
2
|
1
|
150
|
- Para producir 2
toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas, 2 bolsas de semillas de trigo
por hectárea y 5 meses/hombre. Para producir 3 toneladas de centeno se
requieren 2 hectáreas, 1.5 bolsas de semillas de centeno por hectárea y 9
meses/hombre.El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a 300
y 230 pesos respectivamente. El costo de la bolsa de semillas de cada uno
de estos productos es $20 la de trigo y $30 la de centeno.El
empresario que espera maximizar sus
beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270 meses/hombre.
Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un
campo lindero de 80 hectáreas a razón de $30 la hectárea utilizada. La ley
laboral, por otra parte, le brinda el beneficio de contratar mano de obra
adicional a un costo de $50 por meses/hombre, sin limitación. a) Formule
el problema en términos de programación lineal.b) Utilizando el Método SIMPLEX, determine cuál será la solución óptima del empresario y el
correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades. c) Formule
el programa dual correspondiente y luego, haciendo uso del programa de
factibilidad, establezca la primera solución básica.
- Un ama
de casa, típico ejemplo de la economía informal, hace en sus ratos
domésticos libres dos tipos de salsa de tomate que vende en jarras de
barro al supermercado de la zona. La primera salsa, requiere utilizar 3 Kg
de tomates y 4 tazas de vinagre por jarra de salsa. La segunda requiere 5 Kg de tomates y 2 tazas de vinagre. La primera salsa le
produce un beneficio de 40 Bolívares por
jarra y la segunda 50 bolívares. El
supermercado que remite su producción casera hacia los circuitos comerciales (no sabemos con qué beneficio
relativo) le impone a la ama de casa las siguientes condiciones: Que
produzca como mínimo 3 jarras de salsa a la semana Que le
compre como máximo 24 kg de tomate y 3 botellas de vinagre a la
semana. Sabiendo que una botella de vinagre equivale a 16 tazas y que el supermercado monopoliza la venta de tomate y vinagre en la región Utilizando el método
SIMPLEX, determinar los precios a los que estaría dispuesta a pagar el tomate y el vinagre la ama de casa a otro comerciante de la economía informal, para
minimizar sus costos.
- Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado. Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija. El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda fabricar. El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de producción y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. Utilizando el programa WINQSB, determine: a) ¿Cuál es el programa óptimo de producción y a cuánto ascenderá el beneficio esperado? b) ¿Cuál planta aconsejará usted ampliar, si ello fuera posible y de muy bajo costo, y en qué porcentaje?
- Knoxville Survey S.A. se ha contratado para dirigir la puerta-a-puerta las entrevistas personales para obtener la información de ambas casas con y sin niños para un estudio de mercado. Además, las entrevistas se realizaran mañana y tarde para permitir incluir una variedad de actividades de trabajo de la casa. La empresa debe dirigir 1,000 entrevistas bajo las pautas siguientes:
a) Por
lo menos se entrevistarán 400 casas con los niños.
b) Por
lo menos 400 casas se entrevistarán sin niños.
c) El
número total de entrevistas de la tarde será por lo menos tan grande como el
número total de entrevistas del día.
d) Por
lo menos se dirigirán 40% de entrevistas para las casas con niños durante la
tarde.
e) Por
lo menos 60% de entrevistas para las casas sin niños durante la
tarde.
f) Los
costes de la entrevista son $20 durante niño-día, $25 por niño-tarde, $18
durante ningún niño-día, y $20 durante ningún niño-tarde. ¿Utilizando el
programa WINQSB, determinar cuántas entrevista de cada tipo debe hacerse para
minimizar los costos del estudio de mercado?
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